Воспитанник стерлитамакского футбола. Футболом начал заниматься в 6 лет. Его первый тренер — Сергей Иванович Кононо. В 2006 году попал в первую команду города — Содовик, однако первые матчи провёл уже в следующем сезоне. После того, как родная команда Валикаева прекратила свое существование, сезон 2008 года он отыграл уже в «Урале». В 2009 году перешёл в «Нижний Новгород» и поначалу у него не очень ладилось, около двух месяцев Артур залечивал травму, потом перестал проходить в состав, однако в конце августа перешел в «Ростов». Всего за два с половиной сезона в первом дивизионе сыграл 47 матчей, обычно — на позиции опорного полузащитника. Дебютировал же за ростовчан в выездном матче против «Зенита», выйдя на замену в середине второго тайма. В декабре 2010 года Валикаевым заинтересовался московский «Спартак». 11 января 2011 года подписал контракт со «Спартаком».